Equation differentielle ordre 2 avec second membre

Q: Comment résoudre une équation différentielle du second ordre ?

Si on doit résoudre une équation différentielle linéaire dordre 2 à coefficients constants, y′′(x)+ay′(x)+by(x)=f(x) y ″ ( x ) + a y ′ ( x ) + b y ( x ) = f ( x ) , alors on commence par rechercher les solutions de léquation homogène : y′′+ay′+by=0 y ″ + a y ′ + b y = 0 .

Q: Quelle est la méthode générale pour résoudre une équation différentielle ?

Résoudre une telle équation différentielle, cest trouver toutes les fonctions dérivables y définies sur I à valeurs dans R ou C vérifiant, pour tout x∈I x ∈ I , y′(x)+a(x)y(x)=b(x) y ′ ( x ) + a ( x ) y ( x ) = b ( x ) . Dans la suite, on supposera toujours que a,b sont continues sur I .

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Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants avec second membre[modifier | modifier le wikicode]
Exemples[modifier | modifier le wikicode]
Équation homogène associée[modifier | modifier le wikicode]
Espace vectoriel[modifier | modifier le wikicode]
Équation caractéristique[modifier | modifier le wikicode]
Exemples[modifier | modifier le wikicode]
Résolution[modifier | modifier le wikicode]
Équation avec second membre[modifier | modifier le wikicode]
Cas particulier où [modifier | modifier le wikicode]
Équations avec conditions initiales[modifier | modifier le wikicode]
La condition initiale[modifier | modifier le wikicode]
Exemple[modifier | modifier le wikicode]
Comment résoudre une équation différentielle du second ordre ?
Comment déterminer la solution particulière d'une équation différentielle ?
Quelle est la méthode générale pour résoudre une équation différentielle ?

Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants avec second membre[modifier | modifier le wikicode]

Notations et définitions

Une équation différentielle linéaire d'ordre deux à coefficients constants avec second membre est de la forme : On suppose que a n’est pas nul et que d est une fonction dérivable sur un intervalle I.

Remarques :

Les physiciens disposent de leur propre formalisme pour ces équations typiques des phénomènes oscillants. Voir pour cela : Équation différentielle linéaire de la faculté de physique.
Néanmoins on utilisera la lettre t comme variable dans ce chapitre.

Exemples[modifier | modifier le wikicode]

Équation homogène associée[modifier | modifier le wikicode]

Définition

L’équation homogène associée ou l’équation sans second membre associée à est :

Espace vectoriel[modifier | modifier le wikicode]

L'ensemble des solutions de est un espace vectoriel de dimension 2.

Cela signifie qu’il suffit de déterminer 2 solutions linéairement indépendantes pour les avoir toutes par combinaison linéaire.

Équation caractéristique[modifier | modifier le wikicode]

Définition

L'équation est l'équation caractéristique de .

Exemples[modifier | modifier le wikicode]

Donner les équations caractéristiques des équations différentielles homogènes suivantes.

Résolution[modifier | modifier le wikicode]

On suppose ici que les coefficients sont réels, et l'on cherche les fonctions à valeurs réelles solutions de .

Théorème

Une solution générale de s'écrit différemment selon les solutions de l'équation caractéristique :

Équation avec second membre[modifier | modifier le wikicode]

Théorème

Une solution générale de l'équation s'obtient en ajoutant une solution particulière de à la solution générale de .

Remarque : Le problème revient alors à trouver une solution particulière de (E), ce qui n’est pas toujours évident.

Cas particulier où [modifier | modifier le wikicode]

Théorème

Dans le cas où :

où P est un polynôme, il existe une solution particulière de la forme :

où Q est un polynôme, avec :

Démonstration

Par changement de fonction ,

Montrons, par un raisonnement analogue à celui vu en exercice dans le cas du premier ordre, qu'il existe au moins une solution polynomiale (et en général une seule, de même degré que ).

Soit .

Si (c'est-à-dire si n'est pas solution de l'équation caractéristique), l'application est linéaire et préserve le degré donc est bijective. a donc un unique antécédent par , et son degré est .
Si mais (c'est-à-dire si est racine simple de l'équation caractéristique), l'application est linéaire et préserve le degré donc est bijective. Il existe donc un unique polynôme tel que , et son degré est . En l'intégrant, on obtient un polynôme solution de , de degré (on peut même choisir son terme constant, par exemple 0).
Si (c'est-à-dire si est racine double de l'équation caractéristique), l'équation devient et ses solutions, qui s'obtiennent en intégrant deux fois de suite, sont donc des polynômes de degré (et il en existe un sans terme constant ni terme de degré 1).

Remarquons que dans les deux premiers de ces trois cas, a également des solutions non polynomiales, d'après la forme générale des solutions de .

Remarque[modifier | modifier le wikicode]

Ce cas inclut (pour ) le cas d'un second membre simplement polynomial.

Ce cas inclut également les fonctions trigonométriques.

En effet, et .

Pour résoudre une équation faisant intervenir ces fonctions, il faut donc passer par les exponentielles complexes.

Exemple[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer une solution générale de :

Solution

L'équation est sous forme normale.

Équation sans second membre (ou équation homogène associée) :

Équation caractéristique :

(en voyant que -1 est solution évidente par exemple)

Donc .

Recherche d'une solution particulière à l'équation complète :

On cherche une solution particulière sous la forme .

Donc

Une solution particulière est donc .

Donc .

Équations avec conditions initiales[modifier | modifier le wikicode]

La condition initiale[modifier | modifier le wikicode]

L'ensemble des solutions d'une E.D.L du second ordre est un espace vectoriel de dimension 2 ; le fait de fixer deux valeurs suffit à la définir parfaitement.

Le sens physique de cette remarque est très intuitif :

un système physique régi par une équation différentielle du second ordre voit son état déterminé par une seule fonction pour déterminer cette fonction, il faut donner par exemple une position initiale et une vitesse initiale .

C'est ce qu'on appelle les conditions initiales.

Théorème de Cauchy

Exemple[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer la solution de (E) vérifiant les conditions initiales données.

Solution

L'équation est sous forme normale.

Équation sans second membre (ou équation homogène associée) :

Équation caractéristique :

(en voyant que 1 est solution évidente par exemple)

Donc

Recherche d'une solution particulière à l'équation complète :

est solution constante évidente.

Donc est de la forme

Donc

Comment résoudre une équation différentielle du second ordre ?

Si on doit résoudre une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants, y′′(x)+ay′(x)+by(x)=f(x) y ″ ( x ) + a y ′ ( x ) + b y ( x ) = f ( x ) , alors on commence par rechercher les solutions de l'équation homogène : y′′+ay′+by=0 y ″ + a y ′ + b y = 0 .

Qu'est

Une équation différentielle du second ordre est une équation portant sur une fonction inconnue , dans laquelle intervient sa dérivée seconde . Sa forme la plus générale est F ( x , y , y ′ , y " ) = 0 .

Comment déterminer la solution particulière d'une équation différentielle ?

Méthode : Pour trouver une solution particulière de y +a(x)y = δ(x), on peut chercher sous la forme x ↦→ C(x)h(x) où h est solution de l'équation homogène.

Quelle est la méthode générale pour résoudre une équation différentielle ?

Résoudre une telle équation différentielle, c'est trouver toutes les fonctions dérivables y définies sur I à valeurs dans R ou C vérifiant, pour tout x∈I x ∈ I , y′(x)+a(x)y(x)=b(x) y ′ ( x ) + a ( x ) y ( x ) = b ( x ) . Dans la suite, on supposera toujours que a,b sont continues sur I .

Quest